by antonin
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以前、テトレーション(tetration)とかペンテーション(pentation)という、加法・乗法・指数という連鎖の更に上を行く計算について考えてみたことがあった。 安敦誌 : 巨大数への冒険 これは、特に参考資料を使わずに、記号表現だけは既存のものを借りてきて、アイデアを元に素朴な算数を展開したものだった。個人的にはこのレベルでも十分に冒険だったのだが、世の中には近代的な装備に身を包んで本格的な冒険を展開している人がけっこういるらしい。ちょっと面白い文章を見つけたので拾っておく。 巨大数論(PDF) 今のところ話の流れを追う程度しかできていないが、非常に丁寧に書かれているので、真剣に読み解けば理解できそうな感じはする。この文書によれば、テトレーションやペンテーションというのは「原始帰納関数」といって、爆発的に増大する関数の中では一番基本的なものに過ぎないということだった。話は「2重帰納」という、ペンテーションなどの作り方とは質的に異なる関数の作り方を経て、最終的には(時系列的には「最終」ではないようだが)「計算不可能関数」の領域まで到達している。 テトレーションやペンテーションを調べていた流れでグラハム数というのも名前だけは目にしていたが、この文書のおかげで、その位置付けが見えてきた。グラハム数自体の解説としてはこちらの記事のほうがわかりやすい。 (第53回)“9の(9の9乗)乗”グラハム数の麓へ立つ(前編)(1) | 続・数学~その遙かなる風景・日本~ | 投資・経済・ビジネスの東洋経済オンライン こういう議論をしていると、「宇宙って小さいなあ」という気分になってくるからどうかしている。数学では「たかだか有限個」というような表現を見かけるが、それがいかに恐ろしいものかというのも実感できる。 -- 上の文書に「ヒドラゲーム」という言葉が出てきたが、理解できなかったので検索して調べてみた。日本語では答えが見つからなかったので英語で再検索してみると、簡単な説明とJavaアプレットで実際に遊べるページがあった。 The hydra game « Mathematics and Computation The Hydra game このアプレットの方で、ちょっと遊んでみた。中学生の頃には学校帰りによくゲームセンターに寄って、縦スクロールシューティングゲームに「たかだか有限個の」50円玉をつぎ込んで遊んだものだった。その時に培った秒間13連射の技術を使い、ノートPCのスライドパッドを連打してみた結果がこれだ。 ヒドラゲームというのは、ヒドラの頭を切り取って、最終的に全ての頭を切り取るというゲームだが、困ったことに動体に直結した頭以外は、切り取った頭の付いていた首から新しい頭が再生してくる。この再生してくる頭の数というのが、ゲーム開始から切り取った頭の個数と同じだけになるので、序盤はかわいいが後半になってくると再生してくる頭の処理がどんどん増えてくる。 そうは言っても、このゲームは「たかだか有限回」で終わることになっている。しかし、ここでもやはり「たかだか有限回」の、言うは易く行なうは難しの罠にかかってしまう。上の状態では、2348ステップで頭の残りが43個となっているが、問題は残った頭が全て胴体に直結していないということだ。ここから、首を1個切り落とすと、胴体のあたりがこんなふうになってしまう。 切り落として消えた1個の代わりに2348個の頭が再生し、全部で2390個に増えている。説明も読まずに始めてみたが、ちょっと絶望的な感じになったのでやめた。胴体に直結して再生しない頭を刈るのは最後に回したほうが良いのに、序盤からそれをやってしまったのが良くなかった。もう少し簡単な初期配置から再アタックして、多段の部分から切り落としてみた結果がこんな感じ。 50ステップあまりで残りの頭2200個ほどが全て胴体に直結した。結果、2279ステップで頭が全滅した(このプログラムでは胴体は残ってしまうらしい)。スタートサイズが9くらいなら、なんとかクリアできるようだ。 巨大数そっちのけですっかり遊んでしまったが、計算理論の片鱗に触れることができて面白かった。また気が向いたらこちらの方面にもちょっかいを出してみようと思う。 -- ところでなぜ巨大数に再び気が向いたかというと、まともなアクセス解析が回復したからだった。「テトレーション」を検索して安敦誌にやってきた人があったので、ついでに巨大数を調べていたらこういうことになった。以前はブログペットの高性能なアクセス解析を参照して自己満足に浸っていたのだが、ブログペットがサービス廃止になってしまい、しばらくふてくされて更新もろくにしていなかった。 しかし最近、ある程度それを代替するアクセス解析パーツが使えるようになり、再び詳細な検索ワードを知ることができるようになった。やはり、静かながらも反響があるというのは楽しい。
by antonin
| 2011-02-23 23:47
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