安敦誌


つまらない話など
by antonin
S M T W T F S
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30
検索
最新の記事
サンセット・セレナード
at 2017-04-12 23:17
水分子と日本人は似ている
at 2016-06-04 01:49
ほげ
at 2015-06-05 03:46
フリーランチハンター
at 2015-04-17 01:48
アメリカのプロテスタント的な部分
at 2015-04-08 02:23
卯月惚け
at 2015-04-01 02:22
光は本当に量子なのか
at 2015-03-17 23:48
自分のアタマで考えざるを得な..
at 2015-03-06 03:57
折り合い
at 2015-03-01 00:19
C++とC#
at 2015-02-07 02:10
記事ランキング
タグ
(295)
(146)
(120)
(95)
(76)
(64)
(59)
(54)
(45)
(40)
(40)
(39)
(32)
(31)
(28)
(27)
(25)
(24)
(22)
(15)
最新のコメント
>>通りすがり ソ..
by Appleは超絶ブラック企業 at 01:30
>デスクトップ級スマート..
by 通りすがり at 03:27
7年前に書いた駄文が、今..
by antonin at 02:20
助かりました。古典文学の..
by サボり気味の学生さん at 19:45
Appleから金でも貰っ..
by デスクトップ級スマートフォン at 22:10
以前の記事

補遺:1と9/9が等しくないことの証明

等しい数を小数表現したとき、全ての桁で値が一致する。
1は10進法で 1.00000... という循環小数として表記できる。
1/9は10進法で 0.111111... という循環小数として表記できる。
9/9は1/9の9倍であり、10進法で 0.999999... という循環小数として表記できる。
1の10進小数表現と9/9の10進小数表現を比較すると、1の位から右の全ての桁において異なる値となる。

以上より、1と9/9が等しい数とする命題は矛盾する。
よって1と9/9は等しくない。

--

1と9/9が等しいと仮定すると、この証明のどこかに誤りがあるはずなんだけど、もし冒頭にある命題を否定してしまうとすると、カントールの対角線論法が破綻してしまう。このあたり、大丈夫なんだろうか。

n進法の小数表記において、ある桁より右が全てn-1となる表記を禁止しておけば、第4命題が偽となって上記の証明は破綻するからいいのだけれど、そういう追加条件をおいた場合にも対角線論法は保持されるのか。

対角線論法の対角線要素は自然数iに対してiと等しい線形速度で右へ進むが、整数を小数点に対して対称にコピーして作った小数の、連続した0とならない最大桁数はlog_n(i)にとどまる。よって、あるi以上では対角要素は全て0となってしまい、それを反転した数字は2進数では全て1になってしまう。となると、その循環する1をゼロと置き換え、循環する1が始まっていた桁の一つ左の数字を1だけ繰り上げた値と等しくなる。

これって、対角線論法破綻してないか? 大丈夫なのか?

--

ほほいの補遺(11/3追記):

その後ももう少し調べてみたら、大丈夫だということがわかった。上記の小数表は有理数のリストであって無理数のリストではないから、カントールの対角線論法そのものに瑕疵はない。けれども同時に、連続体仮説は証明不能問題であり、仮に仮説が真であるとしても偽であるとしても、数学が内包する他のいかなる命題の真偽にも影響しないということが証明済みということもわかった。つまり、無限集合の濃度という概念そのものはある程度有用だが、定義が不十分であってその詳細を深く詮索することは全く不毛であるらしい。

そういうところを敢えて突っ込んで考えることによって数学そのものが発展を見せる潜在価値は持っているにせよ、現状での顕在価値はない。ということで、現状の定義における濃度を云々するのはやめて、もっとエレガントな濃度の定義を思いつくまでは、放置しておくのがいいのだろう。それはそれとして、テトレーションの諸性質からその逆関数に要請される性質を定めて、それを満たす数の集合が複素数の内にあるのか外にあるのかを調べてみるという問題は面白そうだ。また魔が差すタイミングで考えてみることにしてみよう。けれども結合則の成立しない世界での逆関数を求めるのは面倒だなぁ。
[PR]
by antonin | 2012-11-02 07:07 | Trackback | Comments(0)
トラックバックURL : http://antonin.exblog.jp/tb/19415525
トラックバックする(会員専用) [ヘルプ]
※このブログはトラックバック承認制を適用しています。 ブログの持ち主が承認するまでトラックバックは表示されません。
<< 空論 BFから始まる妄想 >>


フォロー中のブログ
外部リンク
外部リンク
ライフログ
ブログパーツ
Notesを使いこなす
ブログジャンル