安敦誌


つまらない話など
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算術の話

和算の話は好きだけれども、ここでいう算術とは和算術ではなくて単に "arithmetic" の訳語としての意味。まずは少し前に話題になった掛け算の順序の話。

問. 一皿に4個のみかんが乗ったお皿が3皿ありました。みかんは全部で何個あるでしょう。
式. 3 × 4 = 12
答. 12個

小学校の算数で、この回答にバツがついたというのが発端だったらしい。4個のみかんが乗った皿が3皿あるのだから、3 × 4じゃなくて4 × 3が正解だということで、バツがついた。これに理系父さんが噛みついた。個人的な感想から言うと、小学校の教育段階で、3 × 4という式を立てたことにバツをつけるのはありなんじゃないかと思う。ただ、その後のフォローは難しいと思う。

純粋に形式算術で言うと、3 × 4 と 4 × 3 というのは異なる演算であって、ただ乗算という演算がたまたま交換律を満たすから、その条件下では答えが必ず一致するというだけでしかない。理数系の職業に就くと、この交換律を駆使して乗算の左右を入れ替えて計算や式そのものを簡略化するというのは、歩くときに右足と左足を交互に出すのと同じくらい自然な操作なので、この程度でバツを付けられてしまったら商売上がったりという事情はある。

けれども、乗算が加算の繰り返しを簡略化した演算であるという成り立ちに立ち返ると、やっぱり 3 × 4 と 4 × 3 という演算は別のものを指示している。式で書くとこうなる。

(1) 3 × 4 := 3 + 3 + 3 + 3
(2) 4 × 3 := 4 + 4 + 4

こう書いてしまうと、最初に挙げた算数の問題に対応する式が、(1)ではなく(2)が正しいということが明確になるだろう。加算が「1だけ増やす」という演算の繰り返しを簡略化した演算であるという部分まで話を還元すると、次のようになる。

(1) 3 × 4 := (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1)
(2) 4 × 3 := (1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1)

つまり、乗算に交換律が成立する理由は、加算に結合律があるから、ということになる。

こういう背景があって、4 × 3という式は3 × 4という式で代用可能になり、これによって複雑な式が簡略化されたりして高度な算術が人間に扱いやすいレベルまで変形できる可能性が高まる。ただしそれは技術の領域であって、数式が表す意味表現とは少し議論の階層が異なる。

なので、最初の問題に3 × 4という式を立てるのは、意味論では間違いということでいいと思う。学校で掛け算を習う小学生というのは、まだ引き算を習ったばかりで、割り算はこれからという段階にあるので、大人の常識とはちょっと違う世界に住んでいる。4 ÷ 3とすべきところで3 ÷ 4としてはいけないということを習う段階にあるので、掛け算であっても式の立て方の意味論を厳しく練習していくのはいいことだと思う。

ただまあ、相手は幼い子供であるので、単にバツを付けて終わりというのでは、教育心理学的にどうよ、という問題はあるかと思う。学校がただ単に与えられたルールを疑わずに受け入れるための訓練をする場であるのなら(そしてそういう考え方をする教師が少なくないようにも見えるのだが)、ここはこう決められているのだからこう覚えなさい、の一点張りで正しいということになる。が、もちろんそんなことは思わない。

交換律を満たす乗算や加算であっても、演算の左右を意識して式を立てさせる。けれども結局、加算や乗算ではその配慮は無効になって、答えは必ず一致する。でも、減算や除算ではそうはいかない。4 - 3は小学1年生の算数だけれど、3 - 4は中学1年生の数学になる。3 ÷ 4と4 ÷ 3も、もちろん違う。足し算や掛け算と、引き算や割り算は性質が違う。なぜなんだろうね、ふしぎだね、となると、そこに好奇心が生まれ、小さな学究の動機になる。

すべての小学校教師にそこまで期待するのも酷だとは思うけれども、式が逆順であるのにマルを付けるよりは、一度はバツを付けておいて、そこで生じるモヤモヤした気分を子供が自分で考える契機にできる先生は、より優秀な教育者だと思う。まあ、確かにこれは学問好きのエゴであって、与えられたルールを疑わずに受け入れたり、使える道具を疑うより使いこなすことに専念したりすることのほうが、現代社会が求める社会人の重要な特質の一つであり、そういうことを子供に刷り込むのも優秀な教育という解釈は確かに認めざるをえない。ただ、自分のコドモたちには好奇心を育む方の教育をしたいという気分はある。

--

本当は確率論の話もしたかった。人間は "a" の付くものについては詳しく知ることができるが、 "the" の付くものについてはほとんど何も知ることができない、なんていう話にも通じる議論なので、今日みたいに昼間から一人で家に取り残されたりしたら、また何か書くかもしれない。

解釈の仕方まとめ - 箱に入れたカード

10/49派による解答・解説集 - 箱に入れたカード

この問題は、煮詰めるとこうなる。

ジョーカーを除く52枚のトランプをよくシャッフルし、その中から、1枚を引き抜いて箱に入れた。

問1. このとき、箱の中のカードがダイヤのカードである確率はいくらか。

次に、箱を開けて中のカードを見ると、そのカードはスペードの6であった。

問2. このとき、箱の中のカードがダイヤのカードである確率はいくらか。

また別の煮詰め方をするとこうなる。

ジョーカーを除く、普通のフルセットの52枚のトランプをよくシャッフルし、その中から、1枚を引き抜いて箱に入れた。

問1. このとき、箱の中のカードがダイヤのカードである確率はいくらか。

次に、箱を開けて中のカードを見ると、そのカードはダイヤのエースであった。

問2. このとき、問1の答えは1(100%)としても良いか。

「確率」という言葉の意味をどう定義するかという話だけでこれだけ盛り上がるのだから、議論というのは難しい。相互情報量とかエルゴード性とかで比較的明晰に論じることのできる分野だとは思うけれども、自然言語を使って議論をするといろいろな厄介が生じる。このあたり、因果律とか量子力学とかを扱った哲学的議論にも発展する話題なのだけれど、まあメンドクサイ話だと思う。中途半端に理解しやすいのがいけない、という意味では経済学の議論のグダグダにも通じるところがあるかもしれない。
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by antonin | 2013-04-07 14:49 | Trackback | Comments(0)
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