安敦誌


つまらない話など
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ディジタルとアナログってなんだろう(3)

よく、アナログ信号を連続した曲線で描き、それに対応するディジタル信号を、格子目の上の点で表した説明図をよく見かけます。

b0004933_2229554.gif


このとき、格子目の縦軸と横軸はどちらも同じような気がしますが、横軸(たとえば時間軸)と縦軸(たとえば音圧)では、実は飛び飛びに値を取る意味が違ってきます。

横軸方向で、ある一定の間隔で連続信号の値をそのまま取り出すことを「標本化(Sampling)」と言います。標本化により、横軸は飛び飛びの値になってしまいましたが、縦軸方向では自由な値を取ることができます。こうした数値を扱う数学に、「標本化定理」というものがあります。時間領域の関数をフーリエ変換すると周波数領域の関数、いわゆる「スペクトル」が得られますが、関数のスペクトルが周波数W以下の成分しか持たないとき、その2倍の周波数2Wを超える頻度(の等間隔)で標本化をおこなうと、そこで得られた標本値から元の関数を完全に復元できるというものです。スペクトルの限定はありますが、標本化で得られた数値は、まだ元の連続値と数学的に等価であるといえます。

これに対し、縦軸(振幅)方向でも飛び飛びになった値を「離散値」と呼びます。連続値を離散値にすることを「量子化(Quantization)」と呼びます。この段階で、量子化された値は元の値と等価ではなくなります。標本化された標本値と量子化された離散値の差を、「量子化誤差(Quantization Error)」あるいは「量子化雑音(Quantization Noise)」と呼びます。

最後に、量子化する数値の範囲に下限と上限を設けます。すると、標本点で取りうる数値は、ある有限の個数しか取り得ないことになります。また、標本化周波数が有限であれば、単位時間当たりに現れる数字の個数も有限になります。つまり、標本化され、量子化され、範囲を持った数値は、単位時間当たりに現れる数値の組み合わせが有限の個数に収まってしまいます。

この、有限個の数値をそれぞれ区別できる形で、つまり記号的に解釈するという点が、ディジタルをアナログと切り分ける本質ではないかと考えました。文字盤に数字を振った針式時計の例では、針の角度という量を読み取ればアナログ式といえますし、角度ではなく決まった個数の数字の中からひとつを選ぶということをすればディジタル式といえるでしょう。必ずしも数字が振られていなくても、目盛りを目安に何時何分と数字として読み取ればディジタル式ということになります。

実生活では、同じ針式の時計でも時間の目安を付けたいときはアナログ式に、正確な時間が知りたいときはデジタル式にと、ふたつの方式を使い分けてはいないでしょうか。送られた信号が同じものであっても、解釈によってディジタルであったりアナログであったりすることになります。

では、なぜ今の世の中がどんどんディジタルへと流れようとしているのでしょうか。それを、信号が有限個の記号の集まりであると解釈すると何が起きるのか、というところから次回考えてみます。

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ディジタルとアナログってなんだろう(1)
ディジタルとアナログってなんだろう(2)
ディジタルとアナログってなんだろう(3)
ディジタルとアナログってなんだろう(4)
エピローグ
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by antonin | 2005-07-12 22:38 | Trackback | Comments(8)
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Commented by andantino at 2005-07-14 23:07
フーリエ変換の説明希望
Commented by antonin at 2005-07-15 02:31
まいどどーも>あんだん帝

「フーリエ変換」でググって最初に出てきたのがこれ。
http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap4/
わかりやすいけどねぇ。数式いっぱいだねぇ。(泣)

昔フーリエさんが全ての周期関数はsin関数とcos関数の和(線形結合)で表されると証明無しに言い切って、のちにそれが他の数学者によって証明されました。

そのとき、各周期の三角関数にかかる係数を取り出して級数としたのがフーリエ級数。で、上のページにあるように周期関数の周期を無限大に近づけた極限をとったとき、級数は周期の逆数(角速度ω)についての連続関数となり、この関数を元の関数から得る演算がフーリエ変換。

原関数が特定周期以外では0になる標本化関数の形をとるとき、フーリエ変換は行列演算で得られ、これを離散フーリエ変換といいます。原点について点対称な奇関数をフーリエ変換するとsinの係数が全て0になってcosの係数だけが残り、これをコサイン変換といいます。離散フーリエ変換かつコサイン変換なのがJPEGなどで使われている離散コサイン変換(DCT)です。

という話だったような。言葉で書いてもよくわかりませんが。
Commented by antonin at 2005-07-15 02:58
あ、間違えた。奇関数はサイン変換だ。Y軸について線対称な偶関数のフーリエ変換がコサイン変換です。

もう寝よう。
Commented by ぶれ at 2005-07-16 21:04 x
ど、読破したでしっ!  んんがぁぁ、知識不足のため、の~味噌軽量につき、   ??あ~~?( ̄。 ̄)ボ~~~~ッ   でしw
でも、あんとんさんの文章を読むのがすきなので、幸せでし♪
あんだとあんとんさんの知識の会話は、ぶれには、きっと宇宙語に聞こえるでし。  でも、いいんだもん。好きな文章を読むのはすきだもん。
Commented by antonin at 2005-07-20 00:56
あ、読破していただいてありがとうございます。 (_ _)

知識不足というより、単に説明不足でした。
いつもそうですが、今回はより一層自分向けに書いたので、解読不能だったと思います。失礼しました。

連続記事にしたかったので日記を差し控えてきましたが、私生活でもいろいろありました。
特にスターウォーズについては一筆書いておきたいと思っています。
Commented by ぶれ at 2005-07-24 23:59 x
<m(__)m> お返事ありがとうございます。
「知識不足のため&の~味噌軽量につき」  は、ぶれのことです。
あんとんさんのことじゃないよぉ。(T-T) ウルウル
気にしないで、いっぱい書いてぇぇ~~~!ぶれは、読むよぉ。(*^^)
浜省のCDがアナログで発売ってことだし、ぶれにはとっても、タイムリーな話題でした。ありがとうございました。_(._.)_ぺこり。
Commented by antonin at 2005-07-25 01:32
あ、ども。ウルウルしないでください(汗
「ぶれさまの知識不足じゃなくて、こっちの説明不足ですよ~」
ってことで、ここでも説明不足が露呈(滝
Commented by ble_n_dy at 2005-07-25 06:11
怒ってないのね?勘違いでし。(* ̄∇ ̄*)エヘヘ 安心しました。
あんとんさんは、説明上手でし。ぶれの思考回路が鈍いでし。
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