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ピタゴラス一致

前回の駄洒落検索にて「ピタゴラス一致」のニセ定義を書いたが、これは文科省定義で言う「三平方の定理」、古典的には「ピタゴラスの定理」で直角三角形の直角をはさむ二辺の整数比をヒントに書いてみた。でも、これは案外面白いかもしれない。

もう一度定義を書いてみよう。

[定義] 自然数x, xNと自然数y, yNの平方和x2+y2が平方数z2, zNであるとき、xyはピタゴラス一致である。

要するに、直角三角形の三辺の長さが自然数(1以上の整数)の場合について書いている。この定義を使うと、いろいろな関係がピタゴラス一致という用語で記述できる。
ユークリッド公理系において、以下の諸定理が成り立つ。

[定理1] 三角形の二辺の長さがピタゴラス一致するとき、その二辺に挟まれる角が直角であれば、他の一辺の長さは二辺の長さの平方和の平方根に等しい自然数である。(三平方の定理の限定)

[定理2] (削除)

[定理3] 長方形の隣り合う二辺の長さの比がピタゴラス一致するとき、その長方形は正方形ではない。

[定理3の中間定理] 等しい二数はピタゴラス一致しない。

などなど。内容は中学生レベルですが、「ピタゴラス一致」なる新概念を導入すると、なんだか高等数学みたいで面白いですね。

更に、ピタゴラス一致の概念を拡張すると、近年ようやく証明が完了した「フェルマーの最終定理(大定理)」も簡潔に表すことができます。

[定義] 自然数x, xNと自然数y, yNのm乗和xm+ymがm乗数zm, zNであるとき、xyはm次のピタゴラス一致である。

さぁ、ピタゴラス一致に次数の概念が拡張されました。これを使って、フェルマーの最終定理
[定理] xm+ym = zm
となる自然数x, y, zの組は、m≧3の場合には存在しない。

という有名な定理が、ピタゴラス一致の定義を使って記述できます。
[定理] 3次以上でピタゴラス一致する二数は存在しない。

ほら簡潔。(笑)

(追記:2007/6/13)
定理2を削除しました。次のような内容でしたが、仮定が成立していなくても結論の命題が真になり、ピタゴラス一致の性質について何も意味を持っていませんでした。
三角形の二辺の長さがピタゴラス一致するとき、他の一辺の長さが二辺の長さの平方和の平方根より小さければ、二辺に挟まれる角は鋭角であり、他の一辺の長さが二辺の長さの平方和の平方根より大きければ、二辺に挟まれる角は鈍角である。

そういう意味では、ユークリッド公理系なんかに依存しない定理3の中間定理が一番キュートな定理であるような気がします。

面白いので証明してみよう。「等しい二数」というのはセンスが悪いので、「自分自身とピタゴラス一致する自然数は存在しない」に変えてからスタートします。
[命題] 自分自身とピタゴラス一致する自然数は存在しない
[証明] 自分自身とピタゴラス一致する自然数が存在すると仮定する。記号を用いて表現すれば、

m(mN∧Pyth(m,m))

となる。
ここでPyth(x,y)はxyがピタゴラス一致することを示す二項関係。

ピタゴラス一致の定義より、自然数x,yに対し、次の命題が成立する。

z(zNz=√(x2+y2))⇔Pyth(x,y)

すなわち、xyがピタゴラス一致するならば、xyの平方和の平方根に等しい自然数zが存在する。

このとき、仮定から、

n(nNn=√(2m2))

すなわち、mの平方和の2倍の平方根に等しい自然数nが存在する。

しかし、nmを使って次のように表される。

n=m√2

このとき、nは自然数と無理数の積となり、自然数ではない。

したがって、仮定は矛盾し、自分自身とピタゴラス一致する自然数は存在しない。

QED

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by antonin | 2007-06-08 11:01 | Trackback | Comments(0)
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