有理進法の研究(序)

今日はガンガンいきます。命を削る隠遁生活。

さて、算数の世界にはいろいろな数字遊びがあります。中でも高度なものは昨世紀末に楕円関数などというやたらに高度な数学テクニックを使って証明されたフェルマーの大定理なんてのがありますが、高度なのは証明手法だけであって、証明の対象となっている等式は、やたらに簡単なものでした。その簡単さに油断した幾多のプロ・アマ数学家たちが、挑んでは散っていたわけですが、それほど面倒でもない数字遊びというのもあります。

たとえば、次のような掛け算があります。

1 x 1=1
11 x 11=121
111 x 111=12321
1111 x 1111=1234321
11111 x 11111=123454321
111111 x 111111=12345654321
1111111 x 1111111=1234567654321
11111111 x 11111111=123456787654321
111111111 x 111111111=12345678987654321

ご覧のとおり、真ん中の数字が9になるまでは同じ展開が続きます。電卓でやるとなんだか神秘的ですが、小学校で習った筆算で計算してみると原理は簡単だということがわかるでしょう。

ところで、真ん中の数字が9を超えると桁がオーバーフローしてしまい、対称性が崩れます。しかしこれは一桁で表せる数の最大値が9までしかないからであって、9より大きい数を表す記号を使えば、もっと大きな桁数まで対称性が確保できます。

この考え方は別に珍しいことではなく、"0123456789ABCDEF"という16個の記号を数字として扱う16進法が有名です。HTMLの色指定で"#77CCFF"なんてやっているのもそれです。赤の強さが77=119、緑の強さはCC=204、青の強さはFF=255で、結局こんな色になるという指定です。（酔狂な方はHTMLソースをご覧ください）　16進法は一桁で過不足なく4bitを表せるため、コンピュータが扱う数字を表記するのに都合が良くなっています。

それはさておき、アルファベットは全部で26文字ありますので、0から9の10文字を足すと、全部で36進法までは16進法と同じルールで表記できます。それで上のルールを限界いっぱいまで計算すると、どんな値になるか10進法に変換して調べてみよう、というのが以前式だけ羅列した記事でした。

参照：安敦誌 : 意味不明

括弧の右下についている数字は、何進法かを示す数字です。この右下の数字は常に10進法で記述します。（でないとわけがわからなくなる）

さて、そんなこんなで2以上の自然数を基数としたn進法は盛んに研究されてきたのですが、もうちょっと面白いことはできないか、ということで昨年末にちょっと考えてみました。具体的には、実数を基数としたr進法あたりを試してみたいと思い、いきなりπ（パイ）進法に挑戦してみたのですが、あえなく挫折しました。ちょっとハードルが高すぎました。n進法って良くできているなぁ。

ということで、まずは有理数（分母分子が整数の分数）を基数としたq進法に挑戦してみることにしました。これがなかなかエキサイティングな体験だったので、次項以降ににプロセスを紹介します。

なお、終わってから「そんなの、もう研究され尽くしてる。もっとエレガントなものが公知だ」ということだとちょっと寂しいので、始める前に一応Wikipediaだけは目を通しておきました。一部アイデアを借用しましたが、Wikipediaに記載された範疇を超える程度には良いシステムを考えることができたと思います。

参考：位取り記数法 - Wikipedia

基数が自然数のもの、整数（負の数を含む）のもの、複素数（実部と虚部が整数）のもの、などがありましたが、基数が有理数のものはありませんでした。ということで、Wikipediaに先を越される前に成果を発表しておきましょう。プロの数学者によって学会発表された研究などはすでにあるのかもしれませんが、素人なんだからまぁそこは大目に見ていただくということで。

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